Chapter 1 微处理器与数据表示

1.1 从存储程序到微处理器

1.1.1 程序也可以作为数据存储

早期电子计算机通过接线改变计算过程。存储程序（Stored Program）思想把指令编码后放入存储器，机器可以按顺序取指、译码和执行，改变程序不再需要重新接线。（第 3–7 页）

机器语言（Machine Language）直接使用指令的二进制编码；汇编语言（Assembly Language）使用 MOV、ADD 等助记符，由汇编器（Assembler）翻译成机器码。高级语言进一步使用表达式、控制结构和数据抽象，由编译器完成更复杂的翻译。

flowchart LR
    A[高级语言] -->|编译| B[汇编表示]
    B -->|汇编| C[机器指令]
    C --> D[取指、译码、执行]
    D --> E[寄存器与内存状态变化]

这是概念上的翻译链。实际工具链不一定把每一步都保存为独立文件。

1.1.2 x86 演进中的关键变化

课件第 8–30 页按历史介绍了以下处理器。复习时应把型号与引入的机制对应起来，而不只记年份。

处理器或系列	课件所强调的变化	理解重点
Intel 4004（1971）	4 位微处理器	CPU 功能集成到芯片；4 位为半字节
8086/8088（1978/1979）	16 位寄存器、20 位地址、分段	地址空间为 \(2^{20}\) 字节，即 1 MiB
80286（1982）	保护模式、24 位物理地址	描述符、权限检查，最大 16 MiB 物理地址空间
80386（1985）	32 位寄存器、分页、虚拟 8086 模式	IA-32 编程模型与 4 KiB 页
80486（1989）	更完善的流水线、片上 L1 缓存	集成程度提高；课件的 FPU 描述对应带 FPU 的型号
Pentium（1993）	双流水线、分支预测、分离的指令/数据缓存	超标量执行与缓存一致性
P6 系列	乱序执行，后续型号加入 MMX、SSE	指令级并行与向量处理
Pentium 4 及其后续型号	SSE2、超线程、Intel 64 等逐步加入	同一系列不同型号的功能不完全相同
多核处理器	单个封装中包含多个执行核心	核心并行与线程并行

8086 的外部数据总线是 16 位，8088 为 8 位，但两者都具有 16 位寄存器与 20 位地址。寄存器位宽、数据总线位宽和地址位宽是不同概念。

8086 的四个段寄存器同时提供四个段窗口，每段最多 64 KiB。四个窗口可以重叠，因此“最多覆盖 256 KiB”不是四块独立内存的保证，更不是处理器总地址空间只有 256 KiB。

1.2 提高处理器性能的几种机制

1.2.1 流水线、超标量与乱序执行

流水线（Pipeline）把指令处理划分成多个阶段，让不同指令同时处在不同阶段。它主要提高连续指令的吞吐率，不等价于缩短单条指令的所有阶段总延迟。

超标量（Superscalar）处理器可以在一个周期内向多个执行通路分派指令。但若后续指令都依赖前一条结果，增加通路也未必能提高利用率。（第 16–22 页）

; 用于说明数据依赖的示意代码
ADD EAX, EBX    ; 更新 EAX
IMUL EAX, ECX   ; 依赖上一条的结果
ADD EDX, ESI    ; 与前两条没有寄存器数据依赖

乱序执行（Out-of-Order Execution, OoOE）会在一定指令窗口中寻找操作数已准备好的指令。示例中，最后一条可能先于尚在等待的乘法执行。硬件仍须维护程序可见的正确结果；通常通过按程序顺序提交结果实现精确状态。

课件把复杂 x86 指令的内部处理描述为“CISC 转换到 RISC 核”。更准确的理解是：许多实现把指令译成较简单的微操作（Micro-operation, μop）；微操作与微码（Microcode）不是同义词，不能据此推断每条指令都经过微码程序。

1.2.2 SIMD：一条指令操作多个数据元素

单指令多数据（Single Instruction, Multiple Data, SIMD）把一个宽寄存器视为多个数据通道，对各通道执行相同操作。（第 23–25、82 页）

例如，一个 128 位寄存器可存放 4 个 32 位单精度浮点数：

\[ [a_0,a_1,a_2,a_3]+[b_0,b_1,b_2,b_3] =[a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3]. \]

寄存器类别	宽度	可容纳的 32 位元素数
MMX	64 位	2（这里指整数打包，非 MMX 浮点运算）
XMM	128 位	4
YMM	256 位	8
ZMM	512 位	16

MMX、SSE、AVX 等扩展支持的元素类型和具体运算不同，不能仅凭寄存器宽度推断某条指令是否存在。字符串、位串和位域也是 x86 处理的数据形式。

1.2.3 超线程与多核

超线程（Hyper-Threading, HT）在一个物理核心上提供多个逻辑处理器。每个逻辑处理器保留自己的架构状态，如通用寄存器和指令指针，同时共享核心中的许多执行资源。（第 26–29 页）

多核（Multi-core）则提供多个物理执行核心。二者可以结合：4 核、每核 2 个硬件线程通常表现为 8 个逻辑处理器，但不意味着任意任务都能获得 8 倍性能。

机制	并行对象	主要限制
流水线	不同指令的不同阶段	阶段不平衡、停顿
超标量/乱序执行	同一线程中可独立执行的指令	数据依赖、执行资源
SIMD	多个数据元素	数据布局、分支与向量宽度
超线程	同一核心上的多个线程	共享资源竞争
多核	不同核心上的线程	串行部分、同步和内存带宽

课件中的超线程面积与性能百分比来自特定历史测试，不应当作所有处理器和负载的固定收益。

1.2.4 Intel 64 的含义

Intel 64 引入 IA-32e 模式，其中包括运行旧程序的兼容模式和使用扩展寄存器的 64 位模式。64 位寄存器不意味着处理器已经实现全部 \(2^{64}\) 字节虚拟地址或物理地址；实际位数、规范地址形式和分页层级见第 2 章。（第 30 页）

1.3 进制与数值转换

1.3.1 位权表示

基数（Radix）为 \(r\) 的数，用各位数字与位权相乘后求和：

\[ (d_nd_{n-1}\cdots d_0.d_{-1}\cdots)_r =\sum_i d_i r^i,\qquad 0\le d_i<r. \]

例如：

\[ (11010)_2=1\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^1=26. \]

二进制每位取 0 或 1；十六进制用 0–9、A–F，每位恰好对应 4 个二进制位。MASM 常用后缀 H、B 表示十六进制与二进制，例如 0FFH、1010B。（第 31、64–72 页）

1.3.2 十进制转二进制

整数部分采用反复除以 2、余数逆序排列；小数部分采用反复乘以 2、整数部分顺序排列。

课件例题：

\[ 725_{10}=512+128+64+16+4+1=(1011010101)_2. \]

对于 \(46.6875\)，整数部分 \(46=(101110)_2\)，小数部分计算如下：

步骤	乘以 2	取出的二进制位	剩余小数
1	\(0.6875\times2=1.375\)	1	0.375
2	\(0.375\times2=0.75\)	0	0.75
3	\(0.75\times2=1.5\)	1	0.5
4	\(0.5\times2=1\)	1	0

因此：

\[ 46.6875_{10}=(101110.1011)_2. \]

并非所有有限十进制小数都有有限二进制展开。例如课件的 \(0.678\) 在截取 12 个小数位时是 \((0.101011011001)_2\)，只能写成近似相等。这是截断误差，不能称为数值溢出。

1.3.3 二进制、八进制、十六进制互换

从小数点向两侧分组：八进制每组 3 位，十六进制每组 4 位。整数部分在最左侧补零，小数部分在最右侧补零。

\[ (1001101.01101)_2=(0100\ 1101.0110\ 1000)_2=(4D.68)_{16}. \]

课件的跨进制例题：

\[ (635.177)_8=(110\ 011\ 101.001\ 111\ 111)_2=(19D.3F8)_{16}. \]

分组能够直接转换，是因为 \(8=2^3\)、\(16=2^4\)。

1.4 字符编码与 BCD

1.4.1 字符不等于字符编码值

ASCII（American Standard Code for Information Interchange）是 7 位字符编码，包含 128 个码值。'A' 的 ASCII 值为 41H，'0' 为 30H；字符 '5' 的编码 35H 与整数 5 不同。（第 32–35 页）

所谓“扩展 ASCII”并不是一套统一标准，不同代码页可能给 80H–FFH 分配不同字符。

Unicode 为字符分配码点（Code Point），UTF-8、UTF-16、UTF-32 则是编码这些码点的方式。课件将 Unicode 简化为“每个字符 16 位”并不普遍成立：UTF-16 可以使用一个或两个 16 位码元；与标准 ASCII 对应的是 U+0000–U+007F，不是整个 00H–FFH 范围。参见 Unicode 编码 FAQ。

1.4.2 BCD 是逐位编码，不是进制转换

二进制编码十进制（Binary-Coded Decimal, BCD）用 4 位编码一个十进制数字，所以合法数字是 0000–1001。1010–1111 不能直接作为一个十进制数位。（第 36–37、80 页）

表示对象	十进制 13 的表示
普通二进制整数	`00001101B`，即 `0DH`
压缩 BCD（Packed BCD）	`0001 0011B`，即 `13H`
非压缩 BCD（Unpacked BCD）	两个字节，各自低 4 位分别放 1 和 3
ASCII 字符串 `"13"`	`31H 33H`

压缩 BCD 每字节放两个十进制数字，非压缩 BCD 每字节放一个。BCD 便于逐位十进制处理，但一般算术需要进行十进制调整，不能把 BCD 编码当作普通二进制整数直接解释。

1.5 无符号数、补码与溢出

1.5.1 同一位串的两种解释

对于 \(n\) 位二进制位串 \(b_{n-1}\cdots b_0\)，无符号值为：

\[ U=\sum_{i=0}^{n-1}b_i2^i,\qquad 0\le U\le2^n-1. \]

若按二进制补码（Two's Complement）解释，最高位权重变为负数：

\[ S=-b_{n-1}2^{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}b_i2^i, \qquad -2^{n-1}\le S\le2^{n-1}-1. \]

例如 8 位 80H 作为无符号数是 128，作为补码是 \(-128\)；FFH 分别表示 255 与 \(-1\)。内存中没有自动附带的“有符号”标签，含义取决于使用这些位的指令与程序约定。（第 38–40 页）

1.5.2 原码、反码与补码

表示方法	负数编码规则	8 位范围	零
原码（Sign-Magnitude）	符号位加绝对值	\(-127\) 到 \(127\)	正零、负零
反码（One's Complement）	正数各位取反	\(-127\) 到 \(127\)	正零、负零
补码（Two's Complement）	各位取反再加 1	\(-128\) 到 \(127\)	只有一个零

一般基数 \(r\)、位数 \(n\) 下，减基数补码为 \((r^n-1)-N\)，基数补码为 \((r^n-N)\bmod r^n\)。在二进制中分别对应反码和补码。（第 73–79 页）

以 8 位的 115 为例：

正数 115：01110011
逐位取反：10001100
再加上 1：10001101   → 表示 -115

补码让减法可以通过加法实现：

\[ A-B\equiv A+(2^n-B)\pmod {2^n}. \]

例如 \(5-7\) 的 8 位运算为 05H + F9H = FEH，按补码解释得到 \(-2\)。

1.5.3 进位和有符号溢出不同

FFH + 01H 的 8 位结果是 00H，有无符号进位；若按补码解释，则是 \(-1+1=0\)，没有有符号溢出。

7FH + 01H 的结果是 80H，没有最高位进位；若按补码解释，\(127+1\) 超出上界，发生有符号溢出。两类情况分别关联 CF 和 OF，见第 2 章的标志位。

硬件补码加法的回绕语义不自动成为 C/C++ 有符号整数的语言语义，二者的区别见课程导论。

1.6 数据大小、小端序与 MASM 声明

1.6.1 x86 数据大小

名称	位数	字节数	常见 MASM 声明
字节（Byte）	8	1	`DB` / `BYTE`
字（Word）	16	2	`DW` / `WORD`
双字（Doubleword）	32	4	`DD` / `DWORD`
四字（Quadword）	64	8	`DQ` / `QWORD`
十字节数据	80	10	`DT` / `TBYTE`

x86 的 WORD 始终指 16 位，不随处理器进入 64 位模式而改为 64 位。MASM 还提供 SBYTE、SWORD、SDWORD 等带符号声明，以及 FWORD（48 位）。课件第 47 页的 FDWORD 应为 FWORD，参见 Microsoft 的 FWORD 参考。

1.6.2 小端序

小端序（Little-endian）把多字节数的低有效字节放在低地址。若从 1000H 开始保存双字 12345678H：（第 41–43、81 页）

地址	保存的字节
`1000H`	`78H`
`1001H`	`56H`
`1002H`	`34H`
`1003H`	`12H`

大端序（Big-endian）则按 12H 34H 56H 78H 存放。字节序描述字节在内存中的先后，不表示每个字节内部的比特需要倒转。

字符数组 DB 'ABCD' 按字符顺序存放 41H 42H 43H 44H。若把这四个字节作为一个小端双字读取，数值是 44434241H；不要把字符序列与整数显示顺序混为一谈。

1.6.3 数据声明与执行指令

count   WORD  10
mask    DWORD 12345678H
samples WORD  50 DUP(?)
ratio   REAL4 0.15625
precise REAL8 0.15625

这些是数据定义伪指令（Directive），指导汇编器分配并初始化空间，不是 CPU 运行时执行的运算。50 DUP(?) 为 50 个字保留空间，即 100 字节；? 表示不在源码中指定初值。

REAL4、REAL8、REAL10 分别对应 4、8、10 字节浮点数据。声明数据宽度与读写指令的操作数宽度必须匹配。

1.7 IEEE 754 浮点数

1.7.1 符号、指数和有效数

浮点表示（Floating-point Representation）借助科学计数法，在固定长度编码中兼顾范围与精度。IEEE 754 的常见二进制格式包含符号位 \(s\)、存储的指数 \(E\) 和小数字段 \(F\)。（第 44–56 页）

格式	总位数	符号	指数	小数字段	规格化有效精度	指数偏置
binary16	16	1	5	10	11 位	15
binary32（单精度）	32	1	8	23	24 位	127
binary64（双精度）	64	1	11	52	53 位	1023
binary128	128	1	15	112	113 位	16383

若小数字段有 \(t\) 位，规格化数（Normal Number）的值为：

\[ x=(-1)^s\left(1+\frac{F}{2^t}\right)2^{E-\mathrm{bias}}. \]

最高位的 1 由规格化形式隐含，不保存到小数字段中，因此 binary32 虽然只存 23 位小数，却具有 24 位有效精度。

浮点符号与整数补码的负权最高位不同；指数也按偏置码存储。IEEE 浮点编码是固定宽度，课件第 50 页不能理解为“浮点格式必须是变长结构”。

1.7.2 编码例题：0.15625

\[ 0.15625=\frac{5}{32}=(0.00101)_2=(1.01)_2\times2^{-3}. \]

按 binary32 编码：

数值为正，\(s=0\)。
实际指数为 \(-3\)，存储指数 \(E=-3+127=124=(01111100)_2\)。
去掉隐含的首位 1，小数字段为 01000000000000000000000。

0 | 01111100 | 01000000000000000000000

完整位串为 3E200000H，在小端内存中按 00 00 20 3E 存储。反向解码得到 \(1.25\times2^{-3}=0.15625\)。（第 86 页）

1.7.3 零、非规格化数、无穷与 NaN

设指数共 \(e\) 位，最大编码为 \(E_{\max}=2^e-1\)。

指数字段	小数字段	含义
\(0<E<E_{\max}\)	任意	规格化数，隐含首位为 1
\(E=0\)	\(F=0\)	正零或负零，由符号位区分
\(E=0\)	\(F\ne0\)	非规格化数（Subnormal Number）
\(E=E_{\max}\)	\(F=0\)	正无穷或负无穷
\(E=E_{\max}\)	\(F\ne0\)	非数（Not a Number, NaN）

非规格化数不使用隐含的 1，其值为：

\[ x=(-1)^s\frac{F}{2^t}2^{1-\mathrm{bias}}. \]

binary32 的最小正规格化数是 \(2^{-126}\)，最小正非规格化数是 \(2^{-149}\)。后者让接近零的结果逐渐失去精度，而不是直接跳到零，这称为渐进下溢（Gradual Underflow）。（第 51–53 页）

NaN 不是普通实数。典型浮点比较中 NaN == NaN 为假；检测 NaN 应使用语言提供的检测函数。非规格化数的性能影响取决于处理器和浮点控制设置，不能一概认定其运算总是很慢。

1.7.4 舍入与浮点加法

课件列出五种舍入方向：（第 56–57 页）

模式	含义
`roundTiesToEven`	舍入到最近值，恰在中间时选末位为偶数者
`roundTiesToAway`	舍入到最近值，恰在中间时远离零
`roundTowardZero`	向零截断
`roundTowardPositive`	向正无穷方向舍入
`roundTowardNegative`	向负无穷方向舍入

标准中的模式与某条 x86 指令可选择的模式需要区分；不能假设所有硬件操作都提供全部五种。

浮点加法通常经过对阶、有效数相加、规格化和舍入。课件以十进制、7 位有效数字作类比：

\[ \begin{aligned} 123456.7+101.7654 &=(1.234567+0.001017654)\times10^5\\ &=1.235584654\times10^5\\ &\approx1.235585\times10^5. \end{aligned} \]

最终结果受可存储精度限制，和数学上的实数加法不同。

1.7.5 为什么单精度反复加 1 会停住

binary32 有 24 位有效精度。在 \([2^{24},2^{25})\) 范围，相邻可表示数间隔为 2。于是 \(2^{24}+1\) 恰在 \(2^{24}\) 与 \(2^{24}+2\) 中间，按“最近、偶数优先”舍入会回到 \(2^{24}\)。（第 58–59 页）

float sum = 0.0f;
for (int i = 0; i < 30000000; ++i) {
    sum += 1.0f;
}

在每一步都按 binary32、默认舍入模式计算，且没有重排运算时，结果会停在 16777216。这里不是已经达到最大浮点数，而是当前量级下的精度不足以记录加 1 的变化。

1.7.6 数学等价不保证数值效果相同

当 \(x\) 很大时，\(\sqrt{x+1}\) 与 \(\sqrt{x}\) 非常接近，直接相减可能发生消去（Cancellation）：

\[ \sqrt{x+1}-\sqrt{x} =\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}},\qquad x\ge0. \]

右侧避免了两个近似相等数相减，通常在这个场景下更稳定。课件用 Herbie 的表达式改写作为案例，说明改善精度有时需要改变计算方式，而不只是提高位宽。（第 60 页）

1.8 扩展数据格式与案例

1.8.1 十进制浮点格式

IEEE 754 也定义十进制交换格式。课件第 55 页展示 decimal32、decimal64、decimal128，分别提供 7、16、34 位十进制有效数字。十进制浮点可以精确表示范围和精度允许的十进制小数，但仍然具有有限精度；不要直接套用前面的二进制隐含首位公式。

1.8.2 AI 中的范围与精度取舍

第 61–62、84 页比较了面向训练与推理的格式。

格式	指数位数	小数字段位数	主要取舍
FP32	8	23	较高精度与较宽范围
FP16	5	10	较低存储与运算成本，范围较小
BF16	8	7	保留较宽指数范围，降低有效精度
TF32	8	10	特定张量运算使用的计算精度

TF32 的字段对比描述的是计算格式，不能据此把它当作普通的 19 位内存标量类型。课件中的推理速度图来自具体硬件与模型；可迁移的结论是数值表示、专用运算、工艺和并行性共同影响性能。

1.8.3 Pentium FDIV 与 NaN-boxing

课件第 83 页的 Pentium FDIV 案例说明：即使算术指令具有明确语义，硬件实现错误仍可能使少数输入得到错误结果。因此数值正确性也需要硬件与软件验证。

NaN-boxing 则利用某些 NaN 编码中的载荷位（Payload）保存类型标签或其他数据，用于动态语言的紧凑值表示。（第 85 页）这不是把所有 52 位任意填充就一定安全：必须保持合法的 NaN 编码，考虑静默/信号 NaN、指针表示及运行时约定。课件中的强制指针转换示意也不等于可直接移植的 C 实现。

1.9 练习与自检

课件第 63 页布置的教材题号为：1-55、58、59、65、71、75、78、80、81、82。课件未给出完整题干，应结合指定版教材完成。

可先检查以下结论是否能独立推导：

问题	核对结果
8 位 `FEH` 的无符号值和补码值	254、\(-2\)
十进制 13 的整数编码与压缩 BCD	`0DH`、`13H`
小端内存 `78 56 34 12` 对应的双字	`12345678H`
binary32 为什么有 24 位精度	23 位小数加隐含首位
\(2^{24}+1\) 为什么可能仍是 \(2^{24}\)	间隔为 2，默认舍入选择偶数有效尾位
8088 的 8 位总线是否表示 8 位寄存器	否，寄存器为 16 位

1.10 术语表

中文术语	English	缩写	含义
存储程序	Stored Program	—	指令编码后存入内存
流水线	Pipeline	—	多条指令在不同处理阶段重叠执行
超标量	Superscalar	—	同周期处理多条指令的能力
乱序执行	Out-of-Order Execution	OoOE	按操作数就绪情况调度指令执行
微操作	Micro-operation	μop	处理器内部执行的较细粒度操作
单指令多数据	Single Instruction, Multiple Data	SIMD	对多个数据通道执行同类操作
超线程	Hyper-Threading	HT	单核心提供多个逻辑处理器
二进制编码十进制	Binary-Coded Decimal	BCD	用二进制逐位编码十进制数字
补码	Two's Complement	—	最高位具有负权重的有符号整数表示
小端序	Little-endian	—	低有效字节位于低地址
指数偏置	Exponent Bias	—	将实际指数映射为存储指数的偏移量
有效数	Significand	—	决定浮点数有效数字的部分
非规格化数	Subnormal Number	—	用于逐渐逼近零的小量级浮点数
渐进下溢	Gradual Underflow	—	借助非规格化数逐步降低精度
消去	Cancellation	—	相近数相减使有效数字大量丢失